Nel Settembre del 1997, Benoit Mandelbrot e due Dottorandi dell' Università di Yale, L.Calvet e A. Fisher pubblicarono un dossier dal titolo “A Multifractal Model of Asset Returns43” all'interno del quale veniva spiegato, da un punto di osservazione definito Multifrattale, il modello di mercato che riprendeva in considerazione i cartoni descritti a partire dal modello di Bachelier, dai quali si poteva analizzare il rendimento delle attività finanziarie partendo dal concetto di moto browniano frazionario in un tempo multifrattale.
Fulcro del tema innovativo, sembra appunto essere il concetto multifrattale, dove con questa definizione si dovrà intendere la considerazione che l'autore fa della funzione tempo, la quale viene deformata rispetto all'ordinaria visione che si ha ed applicata al mercato mobiliare, convertendo in questo senso il termine “tempo regolare” in “tempo di contrattazione o trading time”, con la prospettiva di raffigurare un diagramma dei prezzi. Con un processo di riduzione di scala non omogenea, sarà possibile costruire il modello multifrattale più adiacente ai dati di cui si dispone, con l'attenzione di far variare la dimensionalità delle scale in misura non equa.44
Il corpo del modello multifrattale incorpora due elementi già noti alla comunità finanziaria, primo dei quali viene definito con il termine di “code lunghe” già presenti in un paper di Mandelbrot del '63, dove l'attenzione viene concentrata sul tema delle distribuzioni L-Stabili di Paul Pier Lèvy, mentre il secondo punto strategico del lavoro di Mandelbrot è individuato nel concetto di “dipendenza di lungo termine” rintracciabile anche nel Moto Browniano Frazionario (FBM) la cui scoperta è attribuita a Mandelbrot e Less nel 1968. Come tale, il Modello Multifrattale dei rendimenti delle attività è un'alternativa al tipo di rappresentazione ARCH45 proposta da Engle nel 1982 che in realtà dispone di una distribuzione condizionata dei rendimenti che direttamente inducono una concentrazione della volatilità nei dati e riducono il problema delle lunghe code.
Nella letteratura di riferimento al GARCH-ARCH Model, si intuisce una memoria lunga delle serie storiche ed una relazione tra le rappresentazioni statistiche rispetto alla differente scala temporale utilizzata nel modello, argomenti che risultano centrali anche nel modello multrifrattale, pur essendo distinzioni di forma tra il modello di Mandelbrot ed i modelli Garch-Arch.In maniera molto intuitiva, la memoria lunga delle serie storiche dei prezzi sviluppa un'idea particolare secondo cui i cicli più lunghi saranno proporzionali al numero totale di osservazioni a disposizione del ricercatore.
[43] B. Mandelbrot, L. Calvet, A. Fisher :” A Multifractal Model of Asset Returns” Yale University Press. Yale September 1997
[44] Si intende per multifrattalità una proprietà dei corpi naturali analizzati con l'impiego di fattori di scala diversi, dove alcune parti dell'oggetto analizzato saranno ridotte in misura più che proporzionale rispetto ad altre parti modificate con scale di dimensioni più ampie.Questa discontinuità di scala renderà la propietà dell'oggetto, multifrattale.
[45] Vedasi appendice.
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